e

08.01.2019

Число e по сравнению с числом Пи — константа-«новичок». Пи — особа августейшая, с великим прошлым, чьи корни уходят в историю Вавилона, а ракушками былого еще обрасти не успела. Постоянная юна, бодра и непременно присутствует всюду, где есть рост: населения, денег или других физических величин.

 

е — число, округленно равное 2,71828.

 

В чем же его особенность? Это не случайно выбранное число, а одна из величайших математических постоянных. Оно получило известность в начале XVII века: несколько математиков приложили немало сил, чтобы разобраться с концепцией логарифма — замечательного изобретения, позволившего превратить умножение больших чисел в их сложение.

 

Но все началось в XVII веке с е-коммерции — с Якоба Бернулли, одного из прославленных швейцарских Бернулли — семьи, которая занималась поставками математиков всему миру. Якоб взялся за работу в 1683 году и начал с задачи о капитализации процентов.

 

Деньги, деньги, деньги

 

Вообразите годичный интервал времени, запредельную ставку кредитования в 100% и стартовый депозит («основной капитал») в 1 фунт. Разумеется, редко выпадает удача получать 100% дохода с вложений, но такая постановка задачи нам попросту удобна, а все дальнейшие выкладки приложимы и к правдопо- добным ставкам в 6–7%. Аналогично можно умножить все наши данные на 10 000, если основной капитал — 10 000 фунтов, например.

 

При 100%-ном доходе в конце года у нас на руках будут и сумма основного капитала, и доход — в наших условиях обе суммы равны 1 фунту. Таким образом получаем итого 2 фунта. Теперь предположим, что кредитная ставка стала вдвое меньше, т. е. 50%, но рассчитывается каждые полгода отдельно. В первые полгода мы заработаем 50 пенсов, к концу первого полугодия общий капитал при этом составит 1,5 фунта.

 

Тогда к концу года у нас на руках окажется эта сумма плюс еще 75 пенсов дохода. Итого наше стартовое вложение в 1 фунт выросло к концу года до 2,25 фунта! Капитализируя проценты каждые полгода, мы заработали дополнительно 25 пенсов. Вроде не так много, но если бы наши вложения составляли 10 000 фунтов, мы заработали бы 2250 фунтов, а не 2000. Капитализация процентов каждые полгода позволяет нам заработать нелишние 250 фунтов.

 

Однако, если мы, капитализируя проценты каждые полгода, зарабатываем на наших вложениях, банк на деньгах, которые мы ему должны, тоже заработает, поэтому стоит держать ухо востро. Предположим, год делится на четыре квартала, и в каждом квартале ставка — 25%. Произведем расчеты, аналогичные предыдущим, и увидим, что наш 1 фунт вырос до 2,44141 фунта. Денег у нас явно прибавилось, и, если вложить 10 000 фунтов и капитализировать меньшие проценты, но чаще, выйдет вроде бы приличная выгода.

 

Будет ли наш капитал расти бесконечно и сделает ли он нас миллионерами? Если продолжим дробить год на все меньшие периоды (см. таблицу ), мы увидим, что «в пределе» суммарное количество заработанных денег устремляется к посто- янной величине. Очевидно, предел разумной капитализации — один день (так банки и поступают). Математическая сторона этой практической задачки — число е: именно к нему устремляется доходность 1 фунта при непрерывной капитализации. Хорошо это или плохо? Ответ вам известен: если вы вкладываете деньги — да, если должны деньги — нет. Такая вот е-наука.

 

Точное значение

 

Как и число Пи, постоянная е —иррациональное число, и поэтому мы не можем вычислить точное его значение. До двадцатого знака после запятой е = 2,71828182845904523536...

 

В дробном выражении наилучшее приближение к значению е дает 87/32 — если ограничить числитель и знаменатель двухзначными числами. Любопытно отметить, что в трехзначных числах наиболее точно постоянную е определяет дробь 878/323. Вторая дробь — своего рода палиндромное расширение первой, математика любит эти милые сюрпризы.

 

Как запомнить?

 

Желаете знать способ запоминания первых нескольких знаков в постоянной е после запятой? Извольте первые 12 десятичных знаков: «Давай-ка я попробую не позабыть и наизусть не твердить этот хвост длиннющий», количество букв в каждом слове соответствует цифре в значении числа е. Если вам знакома американская история, можете запоминать е как «2,7 Эндрю Джексон Эндрю Джексон»: Эндрю Джексон — седьмой президент США, избранный в 1828 году. Способов запоминать число е немало, но интересна в них только затейливость, а не дополнительный математический смысл.

 

Важно ли е?

 

Место обитания е — разнообразный рост чего угодно. Примеры — экономический рост и рост населения. Кривые, описывающие процесс радиоактивного распада, также связаны с этой константой.

 

Числое возникаетивсвязисдругимизадачами.ВXVIIIвекеПьердеМонмор исследовал задачу о вероятностях, и с тех пор ей уделили еще больше внимания. В простой версии этой задачи компания людей отправляется обедать, после чего разбирает свои шляпы не глядя. Какова вероятность того, что ни один человек не окажется в своей шляпе?

 

Можно доказать, что эта вероятность равна 1/(т. е. примерно 37%), а вероятность того, что хотя бы один человек нахлобучит собственную шляпу, составляет 1 – 1/e(63%). Это один из многих способов применения теории вероятности. Пуассоновское распределение, описывающее редкие события, — еще один. Таковы первые примеры, но они далеко не единственные: Джеймс Стирлинг обнаружил замечательную аппроксимацию факториального значения n! с применением (и /); в статистике знаменитая «колоколообразная» кривая (кривая нормального распределения) тоже не обходится без e; в инженерном деле кривая тросов подвесного моста описывается с участием e. Словом, список бесконечен.


 

Комментарии (0)Просмотров (311)
Зарегистрированный
Анонимно